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부정 도입

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1. 개요

부정 도입은 기호 논리학에서 사용되는 추론 규칙으로, (P → Q) ∧ (P → ¬Q) → ¬P 로 표현된다. 이는 P가 참일 경우 Q도 참이고 Q가 거짓이라는 두 가지 전제로부터 P가 거짓이라는 결론을 도출하는 방법이다. 부정 도입은 귀류법을 사용하는 증명에서 핵심적인 추론 절차로 활용된다.

2. 형식적 표기

부정 도입은 기호 논리학에서 사용되는 추론 규칙이다.

2. 1. 기호 표현

Indirect proof|간접 증명영어은 다음과 같이 기술될 수 있다. (P \rightarrow Q) \land (P \rightarrow \neg Q) \rightarrow \neg P .

부정 도입을 사용하는 예시로, 하나의 사실로부터 두 개의 모순되는 명제를 증명하려고 하는 것을 생각해 볼 수 있다. 예를 들어, 어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장할 뿐만 아니라, "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 '''않다'''"고도 주장한다면, 이로부터 그 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다.

귀류법을 사용하는 많은 증명들이 부정 도입을 추론 절차로써 사용한다. 즉, ''¬P''를 증명하기 위해, 모순인 ''P''를 가정한 뒤, ''P''로부터 두 개의 모순되는 추론인 ''Q''와 ''¬Q''를 유도한다. 이 모순은 ''P''를 불가능하게 만드므로, ''¬P''가 반드시 성립한다.

2. 2. 설명

부정 도입(Introduction of negation영어)은 다음과 같이 기술될 수 있다.

:(P \rightarrow Q) \land (P \rightarrow \neg Q) \rightarrow \neg P

부정 도입을 사용하는 예시로는, 하나의 사실로부터 두 개의 모순되는 명제를 증명하려고 하는 것을 생각해 볼 수 있다. 예를 들어, 어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장할 뿐만 아니라, "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 '''않다'''"고도 주장한다면, 이로부터 이 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다.

귀류법을 사용하는 많은 증명들이 부정 도입을 추론 절차로써 사용한다. 즉, ''¬P''를 증명하기 위해서, 모순인 ''P''를 가정한 뒤, ''P''로부터 두 개의 모순되는 추론인 ''Q''와 ''¬Q''를 유도하는 것이다. 이 모순은 ''P''를 불가능하게 만드므로, ''¬P''가 반드시 성립한다.

3. 증명

단계명제유도
1(P \to Q) \land (P \to \neg Q)주어진 식
2(\neg P \lor Q) \land (\neg P \lor \neg Q)단순함언
3\neg P \lor (Q \land \neg Q)분배법칙
4\neg P \lor F비모순율
5\neg P선언적 삼단 논법 (3, 4)


4. 예시

어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장하면서 동시에 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 않다"고 주장한다면, 이 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다. 이는 모순되는 두 주장에서 전제의 부정을 도출하는 부정 도입의 한 예시이다.

5. 귀류법과의 관계

귀류법은 어떤 명제를 증명하기 위해 그 명제의 부정을 가정한 뒤 모순을 이끌어내는 증명 방법이다. 부정 도입은 귀류법에서 모순을 통해 부정을 증명하는 핵심적인 추론 절차로 사용된다. 예를 들어, 어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장하면서 동시에 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 '''않다'''"고 주장한다면, 이 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다.[1]

5. 1. 귀류법에서의 활용

귀류법을 사용하는 많은 증명은 부정 도입을 추론 절차로 사용한다. 즉, '¬P'를 증명하기 위해 모순인 'P'를 가정하고, 'P'로부터 'Q'와 '¬Q'라는 두 개의 모순되는 추론을 유도한다. 이 모순은 'P'가 불가능함을 보이고, 따라서 '¬P'가 반드시 성립한다.[1]

참조

[1] 서적 Negation: A Notion in Focus Walter de Gruyter 1996
[2] 서적 The Syntax of Negation https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1995-03-30



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